Khi nghiên cứu sự tăng trưởng theo hàm mũ của một sinh vật nào đó (ví dụ như tảo xanh), nếu tỷ lệ tăng trưởng là $6.25\%$, thì số lượng sau $x$ ngày có thể được biểu diễn bằng công thức $y = (1+6.25\%)^x$. Vậy nếu $x$ không phải là số nguyên (ví dụ như $1.5$ ngày), công thức này vẫn còn ý nghĩa hay không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần mở rộng định nghĩa của lũy thừa từ số nguyên sang số hữu tỉ và thậm chí là số thực – đây chính là yêu cầu tất yếu của việc mở rộng hệ số.
Căn bậc $n$ và lũy thừa phân số
Định nghĩa căn bậc $n$: Thông thường, nếu $x^n=a$, thì $x$ được gọi là căn bậc $n$ của $a$, với điều kiện $n>1$ và $n \in \mathbf{N}^*$. Biểu thức $\sqrt[n]{a}$ được gọi là biểu thức căn.
Lũy thừa phân số: Để thống nhất các tính chất phép toán, ta quy ước lũy thừa phân số dương của một số dương là: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} (a>0)$. Điều này có nghĩa là mọi biểu thức căn đều có thể chuyển đổi thành dạng lũy thừa để thực hiện phép toán.
Biểu thức căn là sự thể hiện của phép toán lũy thừa trong chiều phân số. Nhờ việc định nghĩa lũy thừa phân số, chúng ta đã loại bỏ ranh giới giữa dấu căn và số mũ, giúp các tính chất phép toán trở nên thống nhất.
$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} (b>0)$$